Idée de départ

L'idée maitresse de l'année est d'étudier un jeu de stratégie pour définir des règles équitables de jeu et de "marquage" dans le jeu que nous avons inventé l'an dernier à partir du théorème des quatre couleurs.

Bienvenue dans notre recherche 2014/2015

Bonjour à vous aventuriers des mathématiques !

Pour commencer cette année, et en attendant le problème de François Sauvageot, nous avons décidé de nous pencher sur quelques facettes de la théorie des jeux.


Tout d'abord, nous avons abordé le dilemme du prisonnier :

On suppose 2 prisonniers (complices d'un crime) retenus dans des cellules séparées et ne pouvant pas communiquer ; on leur offre à chacun trois solutions :

-si l'un des deux dénonce l'autre, il est libéré et le second obtient la peine maximale (10 ans)

-si les deux se dénoncent en même temps, ils écopent tout les deux d'une peine plus légère (5 ans)

-si les deux refusent de dénoncer, ils seront condamnés à la peine minimale (6 mois)

Le dilemme du prisonnier caractérise une situation où les deux joueurs auraient intérêt à coopérer, et où en absence de communication entre les deux joueurs chacun trahira l'autre.

Si l'un trahit et l'autre coopère, ce dernier est fortement désavantagé. Si les deux joueurs trahissent le résultats leur est moins favorable que s'ils avaient coopéré.


Puis nous avons testé l’expérience de Flood et Dresher

 

 

Joueur B

 

 

Stratégie D

Stratégie C

Joueur A

Stratégie C

-1 ; 2

0,5 ; 1

Stratégie D

0 ; 0,5

1 ; -1

Les deux joueurs jouent simultanément (sans connaissance de ce qu’a ou va jouer l’autre) en inscrivant C ou D sur sa feuille.

Si, par exemple, le joueur A choisit la stratégie C et le joueur B la stratégie D, A perd 1 point et B en gagne 2.

Pour que l’expérience fonctionne, il est impératif que les deux joueurs ne communiquent d’aucune façon (ni verbale, ni visuelle, ni onomatopée de tout genre).

Noter ci-dessous les résultats de vos :

Partie n°

stratégie

stratégie

Gains de A

Gains de B

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

Le problème que François Sauvageot nous a posé

Un jeu nous a été proposé par François Sauvageot. On considère un jeu à deux joueurs qui se joue avec n jetons identiques (n>=2).

  • Une configuration est la répartition de ces n jetons en un certains nombres de piles.
    • Par exemple pour n = 4, les configurations possible sont les suivantes : [4], [3;1], [2;2], [2;1;1] et [1;1;1;1]

En partant d'une configuration de départ, les joueurs jouent à tour de rôle et peuvent :

- soit diviser une pile en m piles de même taille (m>=2)
- soit fusionner deux piles de tailles différentes
Le joueur n'ayant plus de coup possible a perdu.

 

  • La longueur L(C) d'une configuration C est le nombre minimum de coups (en comptant les coups des deux joueurs) qu'il faut a un des deux joueurs pour gagner (c'est à dire que son adversaire peut l'empêcher de gagner en moins de L(C) coups). Si le jeu se termine, on dit que L(C) est finie, sinon dit que L(C)=infini.
  • La longueur L(n) du jeu est la plus grande longueur parmi les configurations de longueur finie.

Quelques questions auxquelles nous aimerions répondre

  1. Si on imagine que les joueurs ne cherchent pas nécessairement à gagner, existe-t-il des valeurs de n( n>=2) pour lesquelles des parties qui durent indéfiniment ?
  2. Peut-on trouver toutes les configurations de longueur 1?
  3. Peut-on caractériser les valeurs de n (n>=2) pour lesquelles le jeu est de longueur supérieure ou égale à 2? à 4?
  4. Peut-on toujours trouver, pour n>=2, la longueur du jeu à n jetons?
  5. Peut-on caractériser les valeurs de n (n>=2) pour lesquelles toutes les configurations sont de longueur finie?
  6. Peut-on faire évoluer ce jeu vers un jeu à plus de 2 joueurs?

Bien sûr, nous chercherons toutes les réponses à ces questions en partant du principe que les deux joueurs ne font jamais de "faute". Mais nous réfléchirons aussi à des stratégies qui pousseraient un joueur à en faire.

 

Enfin bref, on a du pain sur la planche...