club maths-sciences du lycée Atlantique de Luçon (85)
partie manquante dans la démonstration du théorème de Beatty
Crypto
Le chiffre de César
Lorsque l'on code un message en remplaçant chaque lettre par celle situéen rangs plus loin dans l'alphabet, on établit ce que l'on appelle un cryptage monoalphabétique (une lettre est toujours codée par une même lettre et deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes). Le nombrechoisi pour le décalage est la clé de cryptage du code.
Cette méthode de décalage, est appelée « chiffre de César », car on dit qu'il l'a utilisée. C'est un chiffrement simple à faire mais très facile à casser.
Vous pouvez fabriquer des petits disques pour chiffrer et déchiffrer des messages. L'intérêt pour des petits est de travailler sur des ensembles finis (quand on arrive à Z on recommence à A)
Dans un cryptage monoalphabétique, en général et si le message est assez long, il est possible de retrouver le message initial en utilisant la fréquence des lettres dans une langue donnée. Dans la langue française, on a un ordre d'idée de ces fréquences.
| A | B | C | D | E | F | G |
| 7.8% | 1.1% | 3.5% | 3.9% | 15% | 1.2% | 0.9% |
| H | I | J | K | L | M | N |
| 0.7% | 7.7% | 0.5% | 0.1% | 5.7% | 3.2% | 7.2% |
| O | P | Q | R | S | T | U |
| 5.6% | 3% | 1.5% | 6.8% | 8.1% | 7.4% | 6.5% |
| V | W | X | Y | Z | ||
| 1.7% | 0.1% | 0.4% | 0.3% | 0.1% |
Si par exemple le codage est un chiffre de César, on peut, à l'aide des statistiques, révéler la clé du code !
Le cryptage affine
Un cryptage affine consiste à chiffrer chaque lettre de l'alphabet, puis à remplacer le nombre initial x par lereste de la division euclidienne de ax + b par 26. On a donc y compris entre 0 et 25.
Les nombres a et b sont des entiers naturels qui forment la clé du cryptage.
Exemple avec la clé (a; b) = (3 ; 7).
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En clair |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
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Rang x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Rang y |
7 |
10 |
13 |
16 |
19 |
22 |
25 |
2 |
5 |
8 |
11 |
14 |
17 |
|
En crypté |
H |
K |
N |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
En clair |
N |
O |
P |
Q |
R |
S |
T |
U |
V |
W |
X |
Y |
Z |
|
Rang x |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
|
Rang y |
20 |
23 |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
1 |
4 |
|
En crypté |
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Attention au choix de la clé : avec la clé précédente, le tableau complété montre que deux lettres distinctes sont cryptées par deux lettres distinctes.
Avec la clé (2 ; 7), les lettres A (x = 0) et N (x = 13) donnent le même rang y=7 et donc elles sont cryptées par la même lettre.
En fait, vous pouvez demander à Anthony (spé maths) de démontrer que deux lettres distinctes sont cryptées par deux lettres distinctes si et seulement si a est premier avec 26.
Le nombre de cryptages affines monoalphabétiques n'est donc pas très grand. Cela aussi vous pouvez le calculer (tous).
Pour plus de détails, voir:
http://alain.pichereau.pagesperso-orange.fr/codageaffine.html
Mais il n'est pas facile de faire une animation dessus avec des petits
quelques sources pour vos sujets
autour des numérations et des nombres
http://images.math.cnrs.fr/Nombres-et-representations.html
et autour des notions de fini et d'infini
http://images.math.cnrs.fr/Sur-les-courbes-de-remplissage.html
j'ai des pigments naturels
j'ai des oxydes bleu et vert, de la terre d'ombre, de la terre de sienne, et je ne sais plus trop quoi d'autre (huit en tout je crois).
renseignezvous sur le support.
T.B.
La peinture au fil des âges
Nous commencerons par étudier les techniques picturales des hommes préhistoriques:
Ils utilisaient des pigments naturel comme le charbon de bois (noir), l'hématite (rouge), l'argile ou la limonite (ocre)...
Ils se présentaient sous forme de blocs qui étaient broyés dans des mortiers de pierre et dilués à l'aide de divers liquides (eau, graisse, salive...).
Parfois, la pâte obtenue était ensuite chauffée afin d'obtenir un panel de couleur plus large, la couleur des pigments changeant à la chaleur.
Les hommes préhistoriques les appliquaient ensuite sur les parois des grottes à l'aide de leurs doigts/mains, de tampons (mousse...), de bâtonnets, de leur bouche et de la technique des pochoirs.
( D'après http://palladia.pagesperso-orange.fr/prehistoire/techniques_picturales.htm)
A venir:Antiquité (fresques romaines), Moyen-Age (tempera: peinture à base de jaune d'oeuf), Renaissance (peinture à l'huile), époque actuelle (acrylique, aquarelle...)
vous pouvez lire "Au temps où la joconde parlait" de Jean Diwo
Ondulations de l'eau
On se rend compte qu'en effleurant les parois d'un verre de cristal ( sans toucher la caisse de resonnance ) l'eau ondule quand le verre est rempli environ aux 3/4 ; et que selon le niveau de l'eau un son se produit ( plus il y a d'eau plus le son est grave ) .
quelques sources d'inspiration
voici des liens qui devraient vous intéresser...
http://sciences.ows.ch/mathematiques/ExploMaths.pdf
http://www.cnrs.fr/sciencespourtous/aimerlesmaths/
Si vous préférez des versions papier, je peux les faire imprimer et les mettre au CDI. Dites-moi.
Et le travail d'Anthony (et de ses co-équipiers de TPE) sur le nombre d'or:
http://letriodor.canalblog.com/
T.B.