Nous avons pris connaissance des problèmes proposés par François Sauvageot. Nous en avons retenu trois dans un premier temps : coloriages, pentaminos et pliages avec une petite préférence apparemment pour les coloriages.

Mais nous nous laissons une semaine de réflexion...

Nous avons avancés dans la recherche sur les coloriages. Bienvenue en maternelle !

 voir le fichier "coloriages 1.docx" dans ressources

Résultats :

- Pays de la Loire : 3 couleurs

- Ile de France : 4 couleurs

- Régions : 4 couleurs

- Départements : 4 couleurs

- Chinois (ou Cambodgiens ou Vietnamiens) : 3 couleurs

- Poissons : 4 couleurs

- Oiseaux : 4 couleurs

- Pavé : 4 couleurs

- Pyramide : 4 couleurs

Conjectures :

- Il faut s'interesser aux points de contact

commentaire:

Je ne sais pas si des enfants de maternelle n'auraient pas fait mieux que vous sur les poissons et sur les oiseaux...

Pas d'autres conjectures???

Séance du 02/10

Seules les frontières sont interessantes.

Nous avons remarqué qu'en multipliant le nombre de frontière qui arrivent sur un point, on n'augmente pas forcément le nombre de couleurs.

Conjecture : si, autour d'un point, on a un nombre pair de frontières, il y aura un nombre pair de couleur; Et si il y a un nombre impair de frontière, il y aura un nombre impair de couleur.

le mercredi 9 octobre :

Une figure qui comporte un nombre paire de frontière peut se simplifier en divisant ce nombre par 2 et en disant qu'il y a autant de fois de couples (1/2) que le résultat de la division. Une figure qui comporte un nombre impair de fronitère a un certain nombre de couples plus une fronitère.

Début de séance on établit plusieurs conjectures:

-nombre pair de frontières ----> nombre pair de couleur

-nombre impair de frontière -----> nombre impair de couleur

 contre exemple: 1 frontières -----> 2 couleurs !!!

- grand pays -----> beaucoup de frontières ?

- petit pays -----> peu de frontières ?

- + de frontières -----> + de couleurs

-est ce que la forme des pays influ sur le nombre de frontière ?

tant de questions auxquelles il va nous falloir répondre !!!

mais d'abord il nous faut nous sortir de la tête l'idée de pays !!!

L'idée du pays est comlpiquée à se retirer du crâne, mais elle nous aide a avancer.

nouvel avancement (c'est du belge!):

- sur une zone fini, plus le "pays" est grand et moins on en mettra dans la zone et moins on aura besoin de couleur, donc plus il est grand et moins de couleur il y aura; a l'inverse si je prend un petit pays, on pourra en mettre plein dans la zone et on aura besoin de beaucoup de couleurs !

-Mais, depuis le début, tout ce que nous avons colorié s'est fait avec quatre couleurs au maximum. On va chercher un pavage que se colorie avec 5 couleurs

On a eut plein d'idées, mais à chaque fois elles tombent à l'eau, il y en a toujours un(e) qui arrive à le faire avec 3 ou 4 couleurs!

On va chercher pendant les vacances...

J'ai donc fais des éssais chez moi pour trouver 5 couleurs différentes et, je pense avoir trouvé ceci: 

je ne sais pas qui a proposé ce dessin, mais je crois que j'ai réussi à la faire avec 4 couleurs. ( ce joli dessin a été posté par Franck )

Début de séance :

encore à la recherche de la 5ème couleur !

après la tentative de Franck, Alan a réfléchit à l'envers ( complétement tordu ce type) et, au lieu de chercher à prouver que l'on peut avoir besoin d'une 5ème couleur, il a cherché à prouver que on en avait jamais besoin, il nous a trouvé un bon exemple mais toujours pas de preuve !

On passe donc à la réflexion suivante :

- On a maintenant une planète avec un trou au milieu, comme une forme de bouée pour enfant. Construire un patron de la planète de façon à ce qu'on puisse y dessiner des pays " à plat"

--> nous nous lancons donc dans la création d'un patron d'une bouée !!!

... ce qui est très compliqué ...

Mais grâce au paquet de pringels ammené par tonton TBJ ! nous avons trouvé la solution ! il nous suffit de prendre un cylindre ( en caoutchou ) et de le tordre pour former une bouée, il nous suffit donc juste de faire un rectangle ( assez long ) que nous plions pour faire un cylindre puis de le tordre pour former une bouée : voilà donc le patron d'une bouée !!!

Le patron de bouée d'Augustin

Alan, la dernière fois, avait demandé une propriété mathématique qui différenciait une sphère et une bouée. Déjà une bouée ce n'est pas convexe (on a dit qu'on ne pouvait pas toujours aller d'un point à un autre en ligne droite sans sortir de la bouée). Mais M Perez nous a dit qu'il y avait une autre différence. Si on dessine une ligne fermée sur une sphère ou un polyèdre, on définit deux zones (on ne peut pas aller de l'une à l'autre dans traverser la ligne). Alors que sur une bouée, il y a des lignes qui ne partagent pas la bouée en deux zones. Et tonton TBJ nous a dit que, dans le premier cas, si on dit que la ligne est un lasso, on peut reserrer le lasso en le faisant glisser sur la surface jusqu'à ce qu'on ait un point, alors que sur une bouée, on ne peut pas toujours. Ils nous ont laisser chercher les lignes (lassos) et... facile!...

On s'est donc dit que dessiner sur une bouée pouvait être différent de dessiner sur un plan, une sphère, un polyèdre convexe. On a donc cherché et voici un échantillon de ce qu'on a trouvé.

on a ramé un peu pour trouver un coloriage qui nécessiterait plus que 5 couleurs. A chaque fois qu'on croyait en avoir trouvé un, il y a quelqu'un qui arrivait à le faire avec 4 ou 5 couleurs. Bon, on sait déjà qu'il faut plus de 4 couleurs...

 Mais en faut-il plus que 5? après tout peut-être pas? Mais on a l'impression que si on fait une zone assez grande pour faire presque le tour de la bouée, elle doit pouvoir toucher plein de couleurs... Combien?...

Fabien a dit qu'on pourrait faire un quadrillage oblique du rectangle, car cela fera des bandes qui tournent sur la bouée.

On essaie pour la prochaine fois.

Il faut que l'on trouve une vrai bouée pour mieux voir. 

Fabien nous propose le dessin ci-dessous. Il dit qu'il ne peut pas le colorier avec moins de 7 couleurs...

Qu'en pensez-vous ? On peut le colorier avec moins de couleurs ou pas?

Et que pensez-vous de celle-ci?

Break the wall, don't be another brick in the wall...

Voici les deux schémas faits sur geogebra!

Il nous semble, après essais de coloriage, que la fleur va nous demander beaucoup plus de couleur que le premier dessin.

On s'est aussi demandé en partant si mettre les disques en quinconce ne permettrait pas d'utiliser moins de couleurs.

Bonjour à tou(te)s !

Je suis très impressionné car vous avez progressé extrêmement vite !

Voici donc quelques questions naturelles à propos de vos trouvailles, afin de relancer les recherches.

• Le coloriage avec 7 couleurs de la bouée (je préfère imaginer un beignet, mais chacun son truc !) est très régulier, mais peut-on le rendre encore plus régulier ? Peut-on obtenir une figure nécessitant 7 couleurs en partant du rectangle et en traçant des droites (inclinées) de façon régulièrement espacées (et en tenant compte du caractère pac-man de la bouée/rectangle) ? On veut que les droites soient donc tracées de bord à bord et ne plus avoir de petits bouts de segments qui traînent au milieu du dessin ...
• Une fois que de telles droites sont trouvées, peut-on les déformer un peu à la mode des dessins d'Escher pour faire un joli pavage de la bouée : par exemple 7 cygnes qui se promènent sur la bouée (il y a beaucoup de bouées en forme de cygne !) de telle sorte que chacun d'eux touche tous les autres !
• On peut aussi maintenant s'intéresser au nombre maximum de couleurs nécessaires. C'est bien plus ardu !

Voici un début de chemin pour s'intéresser à cette question difficile.

On assigne à chaque région (département, pays etc.) une "préfecture" et c'est elle qui choisit la couleur.

On relie chaque préfecture aux autres par un chemin à condition que les deux régions aient une frontière en commun. Attention  ! On veut une vraie frontière, pas juste un coin (ce qui n'existe pas dans la vraie vie de toute façon).

On obtient alors un dessin avec des préfectures (P), des chemins (C) et du coup au milieu de tout ça se trouve de nouvelles régions vides (R). Parmi les régions il y en aura une qui entoure tout le dessin.

Quelques questions pour commencer :

• Sur la terre, ou en Vendée, ou en Pays de Loire, y a-t-il une relation qui relie les nombres P de préfectures, C de chemins et R de régions ?
• Essayer de démontrer cette relation dans tous les cas de figure !
• Et sur la bouée ? Est-ce la même relation ?
• Le démontrer !

On pourra alors s'intéresser à colorier uniquement les préfectures de sorte qu'il n'y ait aucun chemin entre deux préfectures de même couleur et l'avantage de cette approche est qu'on pourra simplifier les dessins obtenus ... un peu comme vous aurez certainement été amené(e)s à le faire pour démontrer la relation entre P, C et R !

Bonnes fêtes et à bientôt (en janvier probablement !),

     François Sauvageot.

Il y a quelques semaines, M Bonjean nous avait suggéré de chercher une relation entre les nombres de sommets, d'arêtes et de faces sur un polyèdre convexe... C'était passé un peu à la trappe! Compte tenu des pistes données par M Sauvageot, on s'est repenchés sur la probème...

Nous avons cherché s'il y avait une relation commune aux 5 polyèdres de Platon.

Et nous avons trouvé!!! Si on appelle S le nombre de sommets, F le nombre de faces et A le nombre d'arêtes, pour ces cinq polyèdres, nous avons:

S + F - A = 2

M Bonjean nous a dit que cela s'appelait la "relation d'Euler" (ou caractéristique d'Euler)

Mais on n'a pas eu le temps de chercher si elle restait vraie sur d'autres polyèdres convexes, en dehors des déformations des précédents (exemple le pavé)

        Nous sommes le 8 janvier, les fêtes sont finis et les cours reprennent au désespoir de tous ... mais le club aussi ! 

        Nous décidons de reprendre le cas des pays et d'y appliquer une nouvelle méthode : le graphe ; c'est très simple, vous prenez les pays et ne représenter qu'un point par pays (par exemple la capitale), ensuite vous reliez les points représentant les pays qui ont une frontière un commun. Vous obtenez ainsi une mosaïque. Attention, les pays coupés en deux (comme le Danemark et le Groenland) ne sont représentés que par un seul point, les océans comptent comme un pays à part entière afin qu'aucun pays ne soit dépourvu de liens avec un autre (comme l'Australie) et enfin il ne doit y avoir ni boucle (pays relié avec lui-même) ni arêtes multiples (pays reliés plusieurs fois entre eux), ni arêtes qui se coupent.

          Vous allez me dire, à part simplifier, A quoi ça sert ? Eh bien, déjà c'est plus facilement exploitable qu'une carte du monde et en plus la formule S + F - A = 2 s'applique aussi. Cela permet aussi d'utiliser un principe mathématique nommé recurence.

        A la semaine prochaine !

Nous avons donc essayé de démontrer que la caractéristique d'Euler (S + F - A = 2) s'applique à tous les graphes. Pour cela, nous avons utilisé la récurrence.

Pour mieux comprendre cette méthode, imaginons un escalier dont on veut savoir si toutes les marches sont solides. Tout d'abord, il nous faut vérifier que la première marche est solide. Ensuite, en prenant une marche au hasard dans l'escalier, et en supposant qu'elle est solide, il faut démontrer que la suivante l'est aussi. Dans ce cas, comme nous avons vérifié que la marche 1 était solide, la marche 2 l'est aussi, et comme la marche 2 est solide, la 3 l'est aussi. Et ainsi de suite.

Revenons à nos graphes. Nous devons tout d'abord vérifier que la caractéristique d'Euler s'applique au graphe le plus simple (la première marche). Le graphe le plus simple est un point. Ce graphe comporte 1 Sommet, 1 Face et 0 Arête, on a bien : 1 + 1 - 2 = 0. La première marche est donc solide !

Maintenant, prenons un graphe à n sommets. On notera S_n le nombre de sommets du graphe à n sommets, F_n sont nombre de faces et A_n sont nombre d’arêtes.

Supposons que ce graphe vérifie la caractéristique d’Euler. Il nous faut donc vérifier que le graphe à n+1 sommet (la marche suivante) la vérifie également. Il faut démontrer que S_n+1 + F_n+1 – A_n+1 = 2.

On sait que S_n = n.   Posons F_n = p.   On a alors A_n = n + p – 2

Ajoutons 1 sommet à notre graphe à n sommets :

On ajoute 1 sommet, donc S_n+1 = n + 1.   De plus, on remarque que l’on est obligé de rajouter au moins une arête, mais dès que l’on rajoute k arêtes, on rajoute automatiquement k - 1 faces. On a donc : 

                A_n+1 = n + p – 2 + k     et     F_n+1 = p + k – 1.

On a finalement :

                S_n+1 + F_n+1 – A_n+1 = n + 1 +p + k – 1 – (n + p – 2 + k) = 2

CQFD !  Nous venons de démontrer par récurrence que la caractéristique d’Euler s’applique à tous les graphes.

Aujourd'hui, nous avons exploité une idée que M. Bonjean a eu (lors de ses insomnies...) pour démontrer qu'avec un graphe à n sommets nous pouvions trouver le nombre maximum d'arêtes :

• Soit n le nombre de sommets et un le nombre maximum d'arêtes.

un = 3n - 6

On a vérifié cette équation en prenant n+1 sommets :

un+1 = 3 (n + 1) - 6

= 3n + 3 - 6

= 3n - 6 + 3

= un + 3

• Ensuite, nous avons pris un graphe à n capitales (qui étaient représentées par des points) et en respectant les règles du graphe planaire (pas d'arêtes multiples, pas de boucles, pas d'arêtes croisées), nous avons dessiné le nombre maximum de liaisons téléphoniques (des traits) pour relier les capitales entre elles.

A chaque fois qu'on rajoutait un point, on pouvait ajouter au maximum 3 liaisons, ce qui vérifie l'égalité un = 3n - 6

• Donc nous avons 3n - 6 liaisons au maximum entre les capitales mais nous devons aussi ajouter des combinés. Il y aura besoin de 2 combinés par liaison (émission/réception) : 2 (3n - 6) combinés soit 6n -12.
• M. Bonjean nous demande alors de démontrer qu'il ne peut pas partir au minimum 6 liaisons de chaque capitale.

S'il part 6 lignes d'une capitale, il y aura 6n postes. Et comme 6n - 12 < 6n, ce n'est pas possible.

(la dernière partie est à vérifier et corriger, je n'étais pas sûre...)

Voila un dessin de carte, j'ai éssayé de faire une carte plutôt difficile, ça serait peut être le niveau "Expert" ou un niveau appelé "Maître du jeu" ?

(Oui car j'ai aussi pensé aux différents noms de niveau pour que ce soit plus "entraînant", je ne savais pas si c'était déjà fait donc voilà à quoi j'ai pensé, exemple:

Facile:" Toute bataille à un commencement."ou "Un débutant dans l'histoire"

Médium: (ça j'ai pas trop d'idées..)ou: "Un guerrier est né"

Difficile: "Tous pour tout"ou "Le Maitre du jeu"

Je ne sais pas si c'est une bonne idée, mais j'y ai pensé. Et je me suis dis aussi que comme les niveaux se feront certainement à la suite, les noms pourraient eux aussi être comme l'exemple que j'ai donné les "étapes d'un bataille.. Voila voila, j'ai l'mpression de partir un peu trop loin mais je voulais vos avis !

 Franck

J'ai écouté ce que vous présentiez et c'était très bien. J'ai vu le matériel que j'ai trouvé original et bien pensé.
Je n'ai peut-être pas tout vu de la présentation informatique ... mais dans l'ensemble j'ai vu pas mal de choses et, une fois encore, c'était très bien.

En un mot, c'est normal que vous ayez eu du monde : vous étiez accessibles et attractifs !

C'est bien que tout le monde aille à Paris !
J'irai quant à moi le week-end de l'ascension pour encadrer une équipe du lycée pour le TFJM2, donc je ne pourrai pas venir en plus la semaine d'avant.
C'est dommage ... mais je penserai à vous !

En tout cas bravo pour le stand, c'était vraiment très accessible et intéressant. Et l'idée de faire un jeu un brillante ! Idéal pour le CIJM !

Allez Luçon !

  --- François Sauvageot