L'idée maitresse de l'année est d'étudier un jeu de stratégie pour définir des règles équitables de jeu et de "marquage" dans le jeu élaboré l'an dernier à partir du théorème des quatre couleurs.

Par exemple, si n=4:

• L([4])=1 , car le 1er joueur (nous l'appelerons J1) n'a d'autre possibilité que de diviser cette pile de 4 jetons en 2 piles de 2 jetons et le second joueur (J2) ne peut plus jouer. J1 a donc gagné en 1 coup.
  
• L([3;1])=2 , car J1 n'a d'autre solution que de revenir à la configuration [4] en fusionnant les deux piles;  J2 fait deux piles de 2 et J2 a gagné en 2 coups. J1 a pu l'empêcher de gagner en 1 coup.
• L([2;2]=0 , car J1 ne peut pas jouer
• L([[2;1;1])= 3 , car J1 revient forcément à la configuration [3;1] et on a vu que L([3;1])=2.
  
• L([1;1;1;1])=0 , car J1 ne peut pas jouer

On démarre avec 6 jetons.

• configuration [3;3] : le jeux est terminé avnt de commencer

L([3;3])=0

• configuration [2;2;2] :idem             L([2;2;2])=0
  

• configuration [2;1;1;1;1]

1	3-1-1-1	3-1-1-1	3-1-1-1
2	4-1-1	4-1-1	4-1-1
1	5-1	5-1	2-2-1-1
2	6	6	Voir suite au prochain tableau.
1	3-3	2-2-2
2	perdu	perdu

            Remarque : celui qui arrive à 6 a perdu !

Avec des tas de 2-2-1-1   on peut aussi faire

1	2-3-1	2-3-1
2	5-1	3-3
1	6	perdu

Avec des tas de 2-3-1  on peut aussi faire

1	4-2	5-1
2	6	6

Avec des tas de 4-1-1

1	5-1	2-2-1-1
2	6	Voir tableau 2-2-1-1

Avec des tas de 4-2

1

2-2-2

6

 

Avec un tas de 6

1

3-3

2-2-2

 

Avec un tas de 5-1

1

6

Quelques configurations qui permettent aux joueurs de faire durer le jeu indéfiniment si aucun des deux ne souhaite gagner:

(2;3;3), (5;3), (8), (4;4), (4;2;2), (6;2)

car on peut faire:

2-3-3

5-3

8

4-4

4-2-2

6-2

2-3-3

etc ...

conjecture: Un nombre pair qui quand on le divise par 2 donne 2 nombres pairs. (bref tous les multiples de 4 strictement supérieurs à 4)

pas mal comme conjecture...

Ne serait-il pas possible de le démontrer?

Avec quelques précautions tout de même:

• que pensez-vous de la configuration (1;1;1;1;1;1;1;1) ?
• et si n=10, qui n'est pas un multiple de 4, que pensez-vous de la configuration (8;2)?

Constats, trucs à démontrer:

G  p,1,1,1,....1

P  p+q=n    avec 'n' paire, ou, si 'n' impaire, 'n-2' est un nombre premier. 

Avec 'n-2' non-premier, on a une configuration de type: p,a,b,avec 'a+b' un nombre paire.